Stepeni

3² - 3 je osnova, ² je iyložilac

3² = 3 x 3

1² = 1 - 1 na bilo koji stepen je 1

0² = 0 - 0 na bilo koji stepen je 0

Razlomak (1/3)² može se zapisati i kao 1²/3²

Za negativne brojeve:

- Kada je izložilac paran vrednost stepena je uvek pozitivna

-10² = (-10) x (-10) = 100

- Kada je izložilac neparan vrednost stepena je uvek negativna

-10³ = (-10) x (-10) x (-10) = -1000

Predstavljanje stepena u obliku proizvoda:

(4)³ = 4 x 4 x 4  = 64

Koristeći stepen broja 10 zapiši broj 200000:

200000 = izvlačimo broj 2 ispred a broju 10 dodajemo izložilac koji je jednak broju nula u traženom broju tj.

200000 = 2 x 10⁵

Formula... Kada je osnova ista, a izložilac različit

a² x a³ = a²⁺³

a³ : a² = a³⁻²

primeri

proizvod u obliku stepena

Y x Y³ x Y² = Y¹⁺³⁺² = Y⁶

Osnova bez stepena je zapravo osnova na prvi!

količnik u obliku stepena

Y⁶ : Y² = Y⁶⁻² = Y⁴

Napiši u obliku stepena

32 : 2⁴ = prvo broj 32 moramo da predstavimo kao osnovu sa brojem 2 i odgovarajućim izložiocem tj. 32 je isto što i 2⁵

2⁵ : 2⁴ = 2¹ = 2

Skraćivanje razlomka

2⁵ x 3⁴ x 2

--------------- = 

2⁸ x 3⁵

sredjujemo brojilac

2⁶ x 3⁴

--------- =

2⁸ x 3⁵

skraćujemo 2⁶ i 2⁸ tako da nam u imeniocu ostaje 2² isto uradimo i sa osnovom 3

   1

------- =

2² x 3

 1

----

12

Formule... Kada je osnova različita a izližioc isti

a⁴ x b⁴ = (a x b)⁴

a⁴ : b⁴ = (a : b)⁴

primeri

Izračunaj

0,25⁸ x 4⁸ = (0,25 x 4)⁸ = 1⁸ = 1

0,2³ x (-50)³ = (0,2 x (-50))³ = (-10)³ = -1000

Stepen stepena

(Z²)³ = Z^{2 x 3} = Z⁶

Formula

(a⁴)³ = a^{4 x 3} = a ¹²

primeri

broj 2²⁰ napiši kao stepen broja 2⁴

( 2⁴)^x  = 2²⁰

sada izložioce predstavljamo kao jednačinu

4 x X = 20

X = 20 : 4

X = 5

( 2⁴)⁵  = 2²⁰ 

šta je veće 2³⁰⁰ ili 3²⁰⁰ 

Ovde je najlakše izjednačiti ih po stepenu stepena

2³⁰⁰ = (2³)¹⁰⁰ = 8¹⁰⁰

3²⁰⁰ = (3²)¹⁰⁰ = 9¹⁰⁰

8¹⁰⁰ < 9¹⁰⁰

Priprema za Prvi Pismeni

1A. Za x = −2 i y = −0,1 izračunaj vrednost izraza:

1 − x² ⋅ (2 + y²)

1B. Za x = −2 i y = −0,1 izračunaj vrednost izraza:

(1 − x²) ⋅2 + y²


2A. Izračunaj:

√1/4 ⋅(−1+√(−0,4)²)

2B. Izračunaj:

2⋅√(−1/2)² − √0,16


3A. Izračunaj dužine duži x i y sa slike.

3B. Izračunaj dužine duži x i y sa slike.

4A. Površina romba je 216cm² i jedna dijagonala 18cm. Izračunaj stranicu i visinu romba.

4B. Obim jednakokrakog trapeza je 180cm, a krak 25cm i jedna osnovica 45cm. Izračunaj površinu trapeza.


5A. Dijagonale pravougaonika su dužine po 16cm i seku se pod uglom od 60 stepeni. Izračunaj obim i površinu tog pravougaonika.

5B. Visina romba je 4cm. Izračunaj obim i površinu romba ako je oštar ugao romba 45 stepeni.


Zadaci mogu biti i ovakvi

1A. Izračunaj vrednost izraza:


2 − (1/3)² + (2 + 1/3)² + (2 − 1/3)²

1B. Izračunaj vrednost izraza:

1 + (2/5)² − (1 + 2/5)² + (1 − 2/5)²

1C. Izračunaj:

a) −4√25 + √169

b) 1/5² − 3√0,16 − (−0,2)²

2A. Izračunaj:

√(9−16)² + √5⋅4−4 + √7²

2B. Izračunaj:

√(4−9)² + √−3+3⋅4 − √5²

2C. Uprosti izraz:

(3√28 − 2/√7 + √63) ⋅ √7

3A. Reši sledeće jednačine:

a) 20 − 4x² = 16

b) 5/9 ⋅ x² = 14/5

3B. Reši sledeće jednačine:

a) 4 + 36 ⋅ x² = 40;

b) 3/5 ⋅ x² =12/3.

3C. Izračunati obim i površinu pravouglog trougla čija je hipotenuza 20cm a jedna kateta 12cm.

4A. Izračunaj dužine težišnih duži pravouglog trougla ABC ( ∡C = 90 stepeni), ako je dato: 

a = 4cm, α = 30 stepeni.

4B. Izračunaj dužine težišnih duži pravouglog trougla ABC ( ∡C=90 stepeni), ako je dato:

b = 4cm, α = 60 stepeni.

4C. Izračunaj dužinu težišne duži ta, pravouglog trougla čija je kateta b = 15cm i hipotenuza
c = 17cm.

5A. Izračunaj obim romba čije su dijagonale 50cm i 48cm.

5B. Površina kvadrata je 32cm². Odredi stranicu, dijagonalu i obim tog kvadrata.

* narandžastom bojom je označen ceo broj/izraz koji se nalazi pod korenom

Pitagorina Teorema

Povrsina kvadrata konstruisanog nad hipotenuzom pravouglog trougla jednaka je zbiru povrsina kvadrata konstruisanih nad katetama tog trougla.

kada je nepoznata velicina hipotenuze (c) a poznate katete  (a, b):
                           
c² = a²  + b²  ili c = √a² + b² 

kada je nepoznata kateta (a ili b) a poznata hipotenuza i jedna kateta:
                           
b² = c²  - a²  ili  b = √c² - a² 

ili

a² = c²  - b²  ili  a = √c² - b² 


Formule za obim i povrsinu trougla

O = a + b + c
        
         a x h
P = ---------
           2

-----

Pitagorina Teorema - primena na kvadrat

Dijagonala deli kvadrat na na dva pravougla jedakokraka trougla.

kada je nepoznata dijagonala (d) a poznata stranica (kateta)

d = a x √2

objasnjenje

d² = a² + a² ... d² = 2 x a²  ... d = √2 x √a² ... d = a x √2

kada je nepoznata kateta (a) a poznata dijagonala:

      

        d x √2 

a = -----------

         2

objasnjenje
                                                            d²                     d                                                        d√2
d² = 2 x a² ... 2 x a² = d²  / :2 ... a² = -----  / √ ... a = ------ (korenujemo razlomak) ... a = --------

                                                            2                      √2                                                       2

Formule za obim i povrsinu kvadrata

O = 4 x a

P = a²

Kruznica koja se nalazi u kvadratu naziva se upisana, a ona izvan kvadrata opisana kruznica

poluprecnik upisane kruznice se izracunava ovako:

     
        a 

r = ----

        2

poluprecnik opisane kruznice se izracunava ovako:

         a x √2 

R = ----------

         2

Pitagorina Teorema - primena na pravougaonik

Dijagonala deli prvougaonik na dva pravougla trougla.

Presek dijagonala pravougaonika je centar opisane kruznice tog pravougaonika

Obim pravougaonika: O = 2 x (a + b)

Povrsina pravougaonika: P = a x b

Pitagorina Teorema - primena na trougao

Zbir unutrasnjih uglova trougla je uvek 180 stepeni.

Kada su kod pravouglog trougla ostri uglovi 30 i 60 stepeni za njega vazi da je kraca kateta duplo kraca od hipotenuze.

Visina (h) jednakokrakog i jednakostranicnog trougla deli osnovicu na dva jednaka dela, a trougao na dva jednaka pravougaona trougla. Visina (h) je, takodje i, simetrala gornjeg ugla kao i tezisna duz jer spaja teme ugla sa sredinom naspramne stranice.

                                                                                         a x h     
Povrsina trougla se uvek racuna istom formulom: P = ---------
                                                                                            2

Obim trougla: O = a + b + c; za jednakokraki: O = a + 2 x b; za jednakostranicni O = 3 x a

U zadacima sa jednakokrakim trouglovima cesto se trazi da se pronadje druga visina (hb), Formula je: 
          a x ha
hb = ----------
            2

objasnjenje:

        a x ha         b x hb
P = ---------- = ----------  (kad izbacimo P a levu i desnu stranu pomnozimo sa 2 gumumo razlomak tj. 
          2                2
                                             a x ha  
... a x ha = b x hb ..... hb = ----------
                                                2

Pitagorina Teorema - primena na romb

* Romb ima sve četiri jednake stranice

* Dijagonale romba se seku pod pravim uglom i jedna drugu dele na pola

* Samo kraća dijagonala može biti jednaka stranici romba

O = 4 x a

P = a x h

a² = (d₁/2)² + (d₂/2)²

        d₁ x d₂
h = -----------
         2 x a

d₁ = √4 x a² - d₂

d₂ = √4 x a² - d₁

Pitagorina Teorema - primena na trapez

* Trapez je četvorougao koji ima dve stranice paralelne

* Kada imamo trougao čiji su dva ugla jednaka onda je on jednakokraki trougao

         a + b 

P = -----------

           2

jednakokraki trapez

O = a + b + 2 x c 

a = 2 x X + b

X² = c² - h²

pravougli trapez

O = a + b + c + d

X = a - b

X² = a² - h²

d₁² = h² + a²

d₂² = h² + b²

Obrt Pitagorine teoreme

Pitagorina teorema: Za svaki pravougli trougao važi da je kvadrat nad hipotenuzom jednak zbiru kvadrata nad katetama

Obrt Pitagorine teoreme: Samo za pravougli trougao važi da mu je kvadrat nad hipotenuzom jednak zbiru kvadrata nad katetama

SVE FORMULE:

Matematika za Sedmake - Realni Brojevi

Realni Brojevi

Racionalni Brojevi

To su oni brojevi koji se mogu predstaviti razlomkom ciji su brojilac i imenilac celi brojevi

Iracionalni Brojevi

To su brojevi koji se ne mogu predstaviti razlomkom ciji su brojilac i imenilac celi brojevi

* Kada koren nekog broja nije potpuni kvadrat on je iracionalni broj.

Realni Brojevi

To je unija skupova racionalnih i iracionalnih brojeva.

Kvadrat racionalnog broja

Primeri:

0² = 0

1² = 1

(-3)² = 9 - zato sto je (-3) x (-3) = 9 / minus i minus daju plus

-4² = -16 - zato sto je -(4 x 4) = -16

0,2² = 0,04 - pemerava se za dve decimale tj. 0,2 ima jednu decimalu i 0.2 ima drugu decimalu tj. 0.2x0,2 = 0.04

(-0,4)² = 0,16

(1/3)² = 1²/3² = 1/9

(-4/5)² = (4/5)² = 4²/5² = 16/25

-(1/4)² = - 1/16

Osobina kvadrata proizvoda dva broja:

a² x b² = (a x b)² isto vazi i za: a² x b² x c² = (a x b x c)²

Kvadrati brojeva koje treba zapamtiti (cesto se pojavljuju u zadacima):

1² = 1; 2² = 4; 3² = 9; 4² = 16; 5² = 25; 6² = 36; 7² = 49; 8² = 64; 9² = 81; 10² = 100

11² = 121; 12² = 144; 13² = 169; 14² = 196; 15² = 225; 20² = 400; 25² = 625;

Jednacine - Apsolutna vrednost

X² = a - prvo "korenujemo" obe strane

√X² = √a

|X| = √a - ovo je apsolutna vrednost i ona ima dva resenja X₁ X₂

X₁ = √a

X₂ = - √a

* Kada je u korenu broj na kvadrat √X² tada trazimo apsolutnu vrednost. Kada su i koren i broj zajedno podignuti na kvadrat (√X)² tada trazimo obicno X (jedno resenje).